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7.4 The Standard Normal Distribution
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7.4 The Standard Normal Distribution

标准正态分布
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核心知识点

标准正态分布定义：均值为0，标准差为1的正态分布，记为Z ~ N(0, 1²)
标准化公式：任何正态随机变量X都可以通过Z = (X - μ)/σ转换为标准正态分布
Z分数意义：表示原始值距离均值有多少个标准差，正值表示高于均值，负值表示低于均值
标准正态分布表：提供Z ≤ z的累积概率，用于计算各种概率值
逆正态计算：给定概率值，查找对应的Z分数，公式为X = μ + Zσ
概率计算规则：

关键词汇表

Standard Normal Distribution

中文：标准正态分布

定义：均值为0，标准差为1的正态分布

Z-score

中文：Z分数

定义：标准化后的数值，表示距离均值的标准差数量

Standardization

中文：标准化

定义：将一般正态分布转换为标准正态分布的过程

Cumulative Probability

中文：累积概率

定义：随机变量小于或等于某一值的概率

Inverse Normal

中文：逆正态

定义：给定概率，求对应随机变量值的过程

Z-table

中文：Z表

定义：标准正态分布的概率表

例题解析

例1：标准正态分布概率计算

使用标准正态分布表计算以下概率：

a) P(Z ≤ 1.28)

b) P(Z > -0.67)

c) P(0.5 < Z < 1.5)

解答：
a) 查标准正态分布表，Z = 1.28对应的累积概率为0.8997，因此P(Z ≤ 1.28) = 0.8997
b) 利用补集规则：P(Z > -0.67) = 1 - P(Z ≤ -0.67)
查标准正态分布表，Z = -0.67对应的累积概率为0.2514，因此：

P(Z > -0.67) = 1 - 0.2514 = 0.7486

c) 利用区间概率公式：P(0.5 < Z < 1.5) = P(Z ≤ 1.5) - P(Z ≤ 0.5)
查标准正态分布表：
  • P(Z ≤ 1.5) = 0.9332
  • P(Z ≤ 0.5) = 0.6915

P(0.5 < Z < 1.5) = 0.9332 - 0.6915 = 0.2417

例2：正态分布的标准化应用

某工厂生产的电子元件寿命服从正态分布，均值μ = 1000小时，标准差σ = 100小时。

a) 求元件寿命超过1150小时的概率

b) 求元件寿命在900到1100小时之间的概率

解答：已知X ~ N(1000, 100²)
a) 求P(X > 1150)，首先标准化：

Z = (1150 - 1000) / 100 = 1.5

因此P(X > 1150) = P(Z > 1.5) = 1 - P(Z ≤ 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668
b) 求P(900 < X < 1100)，标准化两端点：

Z₁ = (900 - 1000) / 100 = -1.0

Z₂ = (1100 - 1000) / 100 = 1.0

因此P(900 < X < 1100) = P(-1.0 < Z < 1.0) = P(Z ≤ 1.0) - P(Z ≤ -1.0)
查标准正态分布表：
  • P(Z ≤ 1.0) = 0.8413
  • P(Z ≤ -1.0) = 0.1587

P(900 < X < 1100) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

提示：

这正好符合经验法则，约68%的数据在均值±1个标准差范围内。

例3：逆正态分布计算

某大学入学考试成绩服从正态分布，均值μ = 650分，标准差σ = 80分。

a) 找出成绩的第95百分位数

b) 如果奖学金只颁发给前10%的学生，求获得奖学金的最低分数

解答：已知X ~ N(650, 80²)
a) 第95百分位数表示有95%的成绩低于此分数。查标准正态分布表，找到P(Z ≤ z) = 0.95对应的Z值。
查Z表得z ≈ 1.645，然后转换回原始分布：

X = μ + Zσ = 650 + 1.645 × 80 = 650 + 131.6 = 781.6

因此第95百分位数约为782分。
b) 前10%的学生对应P(Z > z) = 0.10，即P(Z ≤ z) = 0.90
查Z表得z ≈ 1.28，然后转换回原始分布：

X = μ + Zσ = 650 + 1.28 × 80 = 650 + 102.4 = 752.4

因此获得奖学金的最低分数约为752分。
练习1

设Z ~ N(0, 1)，使用标准正态分布表计算以下概率：

a) P(Z ≤ 0.75)

b) P(Z ≥ -1.23)

c) P(-0.5 < Z < 1.75)

d) P(|Z| > 1.96)

答题区域

练习2

某城市居民的月用电量服从正态分布，均值μ = 120度，标准差σ = 20度。

a) 求随机选择的一户居民月用电量小于100度的概率

b) 求随机选择的一户居民月用电量大于150度的概率

c) 求用电量在110到130度之间的居民比例

答题区域

练习3

已知某地区男性身高服从正态分布N(175, 6²)（单位：厘米）。

a) 身高超过185厘米的男性比例是多少？

b) 身高低于165厘米的男性比例是多少？

c) 找出中间90%男性身高的范围

答题区域

练习4

某公司员工的通勤时间服从正态分布，均值为35分钟，标准差为8分钟。

a) 通勤时间在25到45分钟之间的员工比例

b) 通勤时间的第75百分位数

c) 如果公司希望95%的员工通勤时间不超过某个时间，这个时间应该定为多少？

答题区域

练习5

一家电子产品制造商发现，其产品的电池寿命服从正态分布，均值为500小时，标准差为30小时。

a) 求电池寿命在470到530小时之间的概率

b) 如果制造商希望为寿命最长的5%的电池提供特别保修，那么保修标准应该是多少小时？

c) 如果随机抽取100个电池，大约有多少个电池的寿命会超过550小时？

答题区域

答案与解析

练习1 答案
解答：已知Z ~ N(0, 1)
a) P(Z ≤ 0.75)

查标准正态分布表得P(Z ≤ 0.75) = 0.7734

b) P(Z ≥ -1.23)

利用补集规则：P(Z ≥ -1.23) = 1 - P(Z < -1.23)

查标准正态分布表得P(Z < -1.23) = 0.1093

因此P(Z ≥ -1.23) = 1 - 0.1093 = 0.8907

c) P(-0.5 < Z < 1.75)

利用区间概率公式：P(-0.5 < Z < 1.75) = P(Z < 1.75) - P(Z < -0.5)

查标准正态分布表得：

  • P(Z < 1.75) = 0.9599
  • P(Z < -0.5) = 0.3085

因此P(-0.5 < Z < 1.75) = 0.9599 - 0.3085 = 0.6514

d) P(|Z| > 1.96)

|Z| > 1.96 表示 Z < -1.96 或 Z > 1.96

利用对称性：P(Z < -1.96) = P(Z > 1.96)

查标准正态分布表得P(Z < 1.96) = 0.9750

因此P(Z > 1.96) = 1 - 0.9750 = 0.0250

P(|Z| > 1.96) = 2 × 0.0250 = 0.05

最终答案：

a) 0.7734

b) 0.8907

c) 0.6514

d) 0.05

练习2 答案
解答：已知X ~ N(120, 20²)
a) 求P(X < 100)，首先标准化：

Z = (100 - 120) / 20 = -1.0

查标准正态分布表得P(Z < -1.0) = 0.1587

b) 求P(X > 150)，标准化：

Z = (150 - 120) / 20 = 1.5

P(X > 150) = P(Z > 1.5) = 1 - P(Z < 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668

c) 求P(110 < X < 130)，标准化两端点：

Z₁ = (110 - 120) / 20 = -0.5

Z₂ = (130 - 120) / 20 = 0.5

P(110 < X < 130) = P(-0.5 < Z < 0.5) = P(Z < 0.5) - P(Z < -0.5)

查标准正态分布表得：

  • P(Z < 0.5) = 0.6915
  • P(Z < -0.5) = 0.3085

因此P(110 < X < 130) = 0.6915 - 0.3085 = 0.3830

最终答案：

a) 0.1587（约15.87%）

b) 0.0668（约6.68%）

c) 0.3830（约38.30%）

练习3 答案
解答：已知X ~ N(175, 6²)
a) 求P(X > 185)，标准化：

Z = (185 - 175) / 6 ≈ 1.6667

P(X > 185) = P(Z > 1.67) ≈ 1 - 0.9525 = 0.0475

b) 求P(X < 165)，标准化：

Z = (165 - 175) / 6 ≈ -1.6667

P(X < 165) = P(Z < -1.67) ≈ 0.0475

c) 中间90%对应的双侧尾部各5%，即找到z₁和z₂使得：

P(Z < z₁) = 0.05 和 P(Z > z₂) = 0.05

查标准正态分布表得z₁ ≈ -1.645，z₂ ≈ 1.645

转换回原始分布：

X₁ = 175 + (-1.645) × 6 ≈ 175 - 9.87 = 165.13厘米

X₂ = 175 + 1.645 × 6 ≈ 175 + 9.87 = 184.87厘米

最终答案：

a) 约4.75%

b) 约4.75%

c) 约165.13厘米到184.87厘米

练习4 答案
解答：已知X ~ N(35, 8²)
a) 求P(25 < X < 45)，标准化两端点：

Z₁ = (25 - 35) / 8 = -1.25

Z₂ = (45 - 35) / 8 = 1.25

P(25 < X < 45) = P(-1.25 < Z < 1.25) = P(Z < 1.25) - P(Z < -1.25)

查标准正态分布表得：

  • P(Z < 1.25) = 0.8944
  • P(Z < -1.25) = 0.1056

因此P(25 < X < 45) = 0.8944 - 0.1056 = 0.7888

b) 第75百分位数对应P(Z < z) = 0.75

查标准正态分布表得z ≈ 0.67

转换回原始分布：

X = 35 + 0.67 × 8 = 35 + 5.36 = 40.36分钟

c) 95%的员工通勤时间不超过某个时间，即第95百分位数

P(Z < z) = 0.95，查标准正态分布表得z ≈ 1.645

转换回原始分布：

X = 35 + 1.645 × 8 = 35 + 13.16 = 48.16分钟

最终答案：

a) 约78.88%

b) 约40.36分钟

c) 约48.16分钟

练习5 答案
解答：已知X ~ N(500, 30²)
a) 求P(470 < X < 530)，标准化两端点：

Z₁ = (470 - 500) / 30 = -1.0

Z₂ = (530 - 500) / 30 = 1.0

P(470 < X < 530) = P(-1.0 < Z < 1.0) = P(Z < 1.0) - P(Z < -1.0)

查标准正态分布表得：

  • P(Z < 1.0) = 0.8413
  • P(Z < -1.0) = 0.1587

因此P(470 < X < 530) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826

b) 寿命最长的5%对应的是第95百分位数

P(Z < z) = 0.95，查标准正态分布表得z ≈ 1.645

转换回原始分布：

X = 500 + 1.645 × 30 = 500 + 49.35 = 549.35小时

c) 先求单个电池寿命超过550小时的概率：

Z = (550 - 500) / 30 ≈ 1.6667

P(X > 550) = P(Z > 1.67) ≈ 1 - 0.9525 = 0.0475

对于100个电池，预期寿命超过550小时的数量为：

100 × 0.0475 ≈ 4.75，约5个

最终答案：

a) 0.6826（约68.26%）

b) 约549.35小时

c) 约5个